Как можно объяснить существование определенных внутренних уровней энергии и простые численные соотношения, которые наблюдаются в ряде случаев? Мы надеемся сделать это, используя представления последней главы. В ней мы узнали о волнах вещества, интенсивность которых в каком-либо месте указывает вероятность нахождения там частицы. Как же могут эти представления объяснить существование отдельных точно определенных уровней энергии? Волна вещества для определенного уровня энергии должна оставаться без изменений очень долгое время. Из опытов Франка и Герца и из строения линейчатых спектров элементов известно, что в атомах имеются вполне определенные энергетические состояния. Этого не было бы, если бы длина волны вещества для определенного уровня энергии колебалась, а не оставалась длительное время без изменений. Кроме того, должны существовать различные волны вещества, соответствующие отдельным уровням энергии, потому что эти уровни различны. Поэтому мы должны искать такие волновые картины, каждая из которых отлична от других, но сама остается неизменной. Единственные волны, которые дают сколь угодно долго такую картину и никуда не смещаются, это стоячие волны. Таковы, например, стоячие волны, которые возникают в колеблющихся струнах или в бассейнах с водой. У них нет возвратно-поступательного движения. Напротив, они остаются на месте и сохраняют свою форму, причем смещения частиц периодически нарастают и падают до нуля, без перемещения горбов и впадин вдоль волн. Взгляните, например, на второй снимок слева на рис. 34.8. На обоих концах волны и посередине имеются узлы - неподвижные точки. В промежутках между каждой парой узлов имеются области максимального смещения (пучности). Эти области всегда остаются на том же месте, если вести отсчеты вдоль волны, но с течением времени смещение изменяется от максимального в одном направлении, проходя через нуль, до максимального в другом направлении. В боковых направлениях смещения везде одинаковы и периодически изменяются по величине, но не видно никаких перемещений вдоль волны.



Рис. 34.8. Стоячие волны. Если конец трубки раскачивать из стороны в сторону со все увеличивающейся частотой, то будут образовываться картины со все большим и большим числом петель Обратите, однако, внимание на то, что только вполне определенные частоты будут создавать устойчивые картины стоячих волн.

Попытайтесь сами воспроизвести стоячие волны. Привяжите резиновую трубку к двум прочным опорам и рукой раскачивайте трубку вверх и вниз около одной из опор. Подобрав правильную частоту движения руки, можно образовать картину стоячей волны, в которой трубка колеблется вверх и вниз, но картина не движется вдоль трубки. Может получиться картина с одной пучностью между конечными опорами или с двумя, тремя, четырьмя пучностями и т. д. (рис. 34.8)*). Остановите теперь руку и наблюдайте за дальнейшим движением трубки. Если исключить потери на трение, то движение продолжается и трубка колеблется, давая ту же неизменную картину. Стоячая волна остается на месте и не изменяется. Такова картина волнового движения, которую мы предполагаем обнаружить и в атоме, когда он находится в устойчивом состоянии.
Заметьте, что такие стоячие волны полностью определяются естественными условиями. При закрепленных концах вдоль резиновой трубки будут устанавливаться только стоячие волны с целым числом пучностей (и соответствующими частотами). Если попытаться раскачивать трубку с какой-либо другой частотой, то вы убедитесь, что движение вашей руки не совпадает в чем-то с движением трубки, не попадает в такт с этим движением и не усиливает его. Таким образом, если не применять правильную частоту, то ваши усилия окажут весьма слабое действие. Вам не удастся образовать стоячую волну, которая смогла бы установиться на трубке. Совокупность различных стоячих волн с целыми числами пучностей представляет собой единственно возможную совокупность неизменных волновых картин.
Хотя стоячие волны колеблются поперечно, мы можем рассматривать их как наложение двух одинаковых цугов бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях. Если нарисовать две бегущие волны, перемещать их навстречу друг другу и сложить соответственные смещения, то окажется, что они образуют стоячую волну. Вы также обнаружите, что расстояние между пучностями стоячей волны как раз равно λ/2, где λ - длина волны одного из цугов волн. Нечто подобное мы проделали в разделе 16.3.
Если вам трудно представить себе, что стоячие волны образуются двумя отдельными одинаковыми цугами волн, распространяющимися в противоположных направлениях навстречу друг другу, то попытайтесь проделать это на опыте с настоящими волнами. Возьмите длинную веревку, и пусть два человека держат ее за концы. Затем пусть каждый из них посылает вдоль веревки цуг, скажем, состоящий из дюжины длин волн. Посмотрите, что произойдет, когда оба эти цуга волн будут проходить один через другой.
С этой точки зрения стоячие волны между двумя опорами очень сходны со стоячими волнами, которые вы раньше видели перед отражающей стенкой в волновой кювете. Там вы можете задавать волну, идущую к стенке, с любой частотой, и отраженные волны, возвращающиеся от стенки, взаимодействуют с волнами, идущими им навстречу, и образуют стоячие волны. Однако для заданного положения генератора волн и стенки нужно выбрать "правильную" частоту: в противном случае окажется, что генератору придется совершать движение с очень большим размахом, чтобы получить заметное действие. При правильной же частоте весьма слабые колебания генератора дают большой эффект.
Как видно из рис. 34.8, можно создать хорошие стоячие волны и в резиновой трубке, привязав один конец к твердой опоре и слегка колебля другой конец с "правильной" частотой. Тогда отражение от опоры на другом конце даст цуг волн в противоположном направлении, который, взаимодействуя с волнами, движущимися вперед, образует стоячие волны. Когда такая стоячая волна установится, можно представить себе, что в узлах стоячей волны были внезапно поставлены две твердые отражающие стенки. Так как стенки устанавливаются в тех местах, где движение отсутствует, то они ограничивают отрезок стоячей волны. В любом таком отрезке мы, вместо картины бегущей волны, видим картину "стоячих" колебаний.
Таким образом, мы видим, что картину стоячей волны в трубке между твердыми опорами можно создать сложением двух волновых цугов, один из которых движется вперед, а другой возвращается назад после отражения. Для получения стоячих волн необходимо, чтобы расстояние между опорами составляло половину длины волны, или две полуволны, или три и т. д.
Применим теперь понятие стоячих волн к обсуждению атомных моделей.
Нам известно, что существуют волны вещества. Когда они ограничены конечной областью пространства, как это имеет место в атомах, то они должны принимать форму стоячих волн. Мы увидим, как эти стоячие волны вещества объясняют наблюдаемые уровни энергии в атомах. Но для того, чтобы получить общее представление, мы начнем с примера, который проще любого атома. Рассмотрим частицу, движущуюся взад и вперед между отражающими стенками, и отыщем картину стоячих волн, соответствующую этому движению. Когда частица движется с постоянной скоростью между стенками в одном направлении, она имеет постоянное количество движения, так что имеется волна де Бройля определенной длины, связанная с ее движением. Когда она упруго отскакивает от стенки и движется в обратном направлении, то величина импульса остается той же, так что с движением частицы также связана отраженная волна де Бройля той же длины. Мы представляем себе, что обе эти волны вещества сосуществуют в области между стенками. Длина волны определяется величиной количества движения частицы. Если эта длина волны окажется подходящей для данных условий, то два цуга волн создадут стоячую волну между стенками.
Тут-то и сказывается существенным образом волновая природа вещества. Между фиксированными стенками могут существовать только определенные стоячие волны, так что могут иметь место только вполне определенные движения частицы с соответствующими определенными значениями количества движения.
Простейшая стоячая волна похожа на первый фотоснимок на рис. 34.8. Там длина волны равна удвоенному расстоянию d между стенками: λ - 2d. Это длина волны, принадлежащей одному из возможных движений частицы. (Другие виды движения, с несколькими пучностями, дают более короткие длины волны и большие количества движения. Таким образом, эту волну с одной пучностью дает самое медленное движение частицы.)
Энергию частицы для этого движения можно найти из соотношения



Применяя соотношение де Бройля



находим отсюда:



Так как λ = 2d, получаем окончательно:



для кинетической энергии частицы, скачущей взад и вперед в "ящике" длиной d. Это наименьшая энергия, при которой стоячая волна де Бройля может существовать. При более низких энергиях длина волны слишком велика, и никакая волна, связанная с частицей массы т, не может поместиться в ящике. Хотя в ньютоновской механике частица могла бы двигаться и с меньшей энергией, в нашей волновой механике здесь не существует никакого возможного состояния движения с меньшей энергией. Таким образом, эта наименьшая энергия представляет основное состояние. Теперь, снова возвращаясь к атому водорода, мы видим, что мы стоим на многообещающем пути: По таким же точно причинам атом водорода должен иметь основное состояние, хотя ньютоновская механика допускает для него неизмеримо меньшие энергии. Таким образом, вырисовывается перспектива объяснения устойчивости атомов. Кроме того, имеется много волн вещества с более высокими энергиями, которые могут поместиться в ящике. Имеются стоячие волны с двумя, тремя, ..., п пучностями и т. д. Эти устойчивые состояния волн с их определенными значениями энергии дают модель возбужденных состояний атома.

*) Эти снимки не очень удачны: они сделаны в перспективе и поэтому (особенно на крайнем справа) длина полуволны кажется непостоянной. (Прим. ред.)