Применим теперь представление о стоячих волнах к водородному атому. Атом не является ящиком с твердыми стенками, от которых отскакивает частица; в нем электрон удерживается кулоновской силой между ядром и электроном. Эта сила заставляет электрон отскакивать взад и вперед или кружиться внутри небольшой области вблизи ядра. Поэтому в теории атома водорода ставится задача о стоячей волне в трех измерениях, о волне в поле переменной кулоновской силы, вместо более простой волны в пространстве между твердыми стенками. Эта задача сходна с задачей нахождения картин стоячих волн на поверхности воды в чашке. (Можно получить прекрасные симметричные картины стоячих волн в чашке путем простого покачивания чашки. См. также рис. 34.9.) Математическую теорию волн можно легко применить к подобным волновым картинам, а также к волнам в атоме водорода. Здесь мы прибегнем к некоторым упрощениям, но постараемся доказать правдоподобность результатов, хотя и не сможем претендовать на строгость рассуждений.
Для начала рассмотрим электрон, движущийся по круговой орбите на расстоянии г от центра атома. Центростремительная сила, необходимая для удержания электрона, движущегося по окружности, должна быть равна электростатическому притяжению . Следовательно,



Это уравнение связывает скорость v с радиусом r.




Рис. 34.9а. Выполненный с большой выдержкой снимок стоячих волн на поверхности жидкости, ограниченной кольцевым барьером в волновой кювете. Приводилась в колебания вся кювета, но бегущие волны за пределами барьера не видны на фотографии - изображение их размыто.



Рис. 34.96. Система стоячих волн на металлической пластинке, неподвижно закрепленной в центре. Такие картины (часто называемые фигурами Хладни) образуются мелким песком, рассыпаемым по пластинке, когда она приведена в колебательное движение. Песок собирается на неподвижных узловых линиях.

Так как электрон движется на постоянном расстоянии от ядра и, следовательно, с постоянной скоростью, величина его количества движения при движении по орбите остается постоянной. Поэтому для такой орбиты волна вещества де Бройля имеет вполне определенную длину:



Конечно, волна вещества не может в действительности располагаться вдоль классической орбиты, так как все волны в атоме, подобно волнам в чашке, простираются на некоторую область как вдоль орбиты, так и в стороны от нее. Но можно надеяться приблизиться к поведению волны вещества, представляя ее себе как волну в узком круговом канале радиуса r. В таком канале волна может существовать, если окружность "орбиты" содержит целое число длин волн. Тогда бегущие волны, движущиеся в противоположных направлениях и образующие стоячую волну, будут, обойдя всю орбиту, приходить с максимумом в прежний максимум и с минимумом в прежний минимум (рис. 34.10). Если на орбите не укладывается целое число длин волн, то через несколько обходов окажется, что теперь на прежний максимум приходится минимум, так что стоячая волна перестанет быть стоячей и не сможет существовать; в частности, для круговых каналов должно соблюдаться соотношение



Длина волны де Бройля определяется количеством движения:



и это условие дает нам второе соотношение между радиусом г орбиты и скоростью электрона:



Из этих двух условий - одного для стоячих волн в канале и другого, которое показывает нам, как каналы укладываются в "ящик", образованный кулоновской силой,- можно найти скорости и соответствующие радиусы, для которых могут существовать стоячие волны. Алгебраические преобразования, с помощью которых вычисляются скорости и радиусы, приведены ниже (стр. 806) в тексте, набранном мелким шрифтом.
Узнав скорость и радиус, мы можем вычислить как кинетическую энергию , так и электрическую потенциальную энергию - Это дает нам энергии состояний стоячих волн. Результат следующий:



Теперь для сравнения этих энергий для стоячих волн с действительными энергиями состояний водорода мы должны подставить значения постоянной Планка, постоянной в законе Кулона и массы электрона:
h = 6,62*10^-34 дж*сек,
k=2,3*10^-28 н*м²/(элем. зар.)²
т = 0,911- 10^-30 кг.
Припоминая, что заряды электрона и протона равны элементарной единице заряда, получаем:







Так как 1 дж = 6,25-10¹⁸ эв, то это дает для энергий состояний стоячей волны в водороде



Этот результат в точности совпадает с выражением для уровней энергии атома водорода, которое мы получили в разделе 34.4. Там это выражение получилось из экспериментальных работ спектроскопистов. Оно выражает энергетические состояния водорода, которые приводят к наблюдаемым спектральным линиям испускаемого и поглощаемого света.



Рис. 34.10. а) Схема водяных волн в узком круговом канале, в котором образованы стоячие волны. Волна, движущаяся вокруг канала, возвращается к своей исходной точке так, что гребень совпадает с гребнем, а впадина со впадиной. Это происходит тогда, когда длина канала равна целому числу длин волн, б) Длина канала не равна целому числу длин волн. В этом случае, когда волна приходит обратно в свою исходную точку, гребни (или впадины) не точно накладываются на другие гребни (или впадины). Волны стремятся погасить друг друга, и устойчивой картины не получается.

Оно также согласуется с измеренной энергией, необходимой для ионизации атома водорода; 13,6эв - это как раз энергия, необходимая для того, чтобы вывести атом водорода из его основного состояния - состояния стоячей волны с наиболее низкой энергией, где п = 1, -и перевести его в состояние нулевой энергии, за которое мы принимаем состояние, в точности соответствующее ионизации атома водорода. Результат для стоячей волны, таким образом, полностью совпадает с экспериментальными данными.



Рис. 34.11. Спектр однократно ионизированного гелия с длинами волн, указанными в ангстремах. Эти линии соответствуют водородной серии Лаймана (см. рис. 34.7), измененной благодаря тому, что заряд ядра равен двум единицам. Обратите внимание на то, что они лежат в чрезвычайно коротковолновой, ультрафиолетовой области.

Наш теоретический результат можно проверить несколькими способами. В соответствии с нашим анализом состояний стоячих волн энергии должны быть пропорциональны квадрату числа элементарных зарядов ядра. Поэтому любая атомная система с центральным ядром и только одним электроном должна дать спектр, похожий на спектр водорода, в котором, однако, все энергии увеличены пропорционально квадрату заряда ядра. Например, атом гелия может потерять один из своих двух электронов. Тогда ион гелия состоит из одного электрона, движущегося вокруг ядра с двумя положительными элементарными зарядами. Такой ион гелия получается, когда атом гелия возбужден до энергии, превышающей его энергию ионизации. Его спектр наблюдался в атмосфере синих горячих звезд и в лаборатории, когда сквозь гелий посылались интенсивные искры. На рис. 34.11 представлено несколько его спектральных линий. Они в точности выражаются нашей формулой для уровней энергии водорода с множителем 4 при квадрате заряда ядра. Наблюденный спектр дважды ионизированного лития также находится в согласии с формулой волновой механики, но там заряд ядра имеет 3, а не 2 элементарных заряда. Следовательно, все энергии в 9 раз больше, чем у водорода.
В действительности сам водород встречается в трех различных формах. Кроме нормального водорода имеются два редких тяжелых изотопа.



Рис. 34.12. Фотоснимки, показывающие детали двух разных спектральных линий водорода. Видны слабые спектральные линии дейтерия (с длиной волны, которая короче на 1 или 2 А) справа от линий обыкновенного водорода, снятых с очень большой передержкой. Этот опыт впервые показал, что существует тяжелый изотоп водорода. Линии дейтерия слабы, потому что концентрация атомов дейтерия составляет только около 1 : 6500. Для этих фотоснимков концентрация была несколько увеличена испарением жидкого водорода. Пользуясь современными методами, можно разделять изотопы и получать сравнительно чистый дейтерий; это позволяет точнее определить длину волны его линий.

Спектры этих изотопов выглядят почти так же, как спектр обыкновенного водорода, но имеются незначительные различия. Для того чтобы понять их, нужно более пристально рассмотреть наше вычисление уровней энергии водорода. При нахождении энергетических состояний мы предполагали, что тяжелое ядро оставалось неподвижным. Но это справедливо только приближенно. Две взаимно притягивающиеся массы, ядро и электрон, вращаются вокруг своего общего центра массы, подобно Земле и Солнцу. Этот центр массы почти совпадает с ядром, потому что последнее во много раз тяжелее своего партнера. Но имеющееся малое расстояние между центром масс и ядром приводит к тому, что уровни энергии зависят, хотя и очень мало, от массы ядра. Величина этого эффекта была вычислена Бором в его первой статье, в которой он применил метод, совершенно отличный от рассмотренного нами. Для ядра массы М (вместо бесконечной массы) каждую энергию нужно умножать на множитель . Так как протон примерно в 2000 раз тяжелее электрона, то это значит, что каждая частота в спектре обыкновенного водорода должна быть на 1/2000 меньше вычисленной нами ранее. (Действительно, после внесения этой поправки вычисленные и экспериментальные результаты различаются менее чем на 1/10 000.) Для других изотопов водорода вычисления дают теперь несколько иные результаты. Например, масса ядра дейтерия (дейтрона) почти вдвое больше массы протона. Следовательно, частоты дейтерия ниже частот для атома с бесконечно тяжелым ядром только на 1/4000. Таким образом, частоты в спектре дейтерия должны быть несколько больше, чем у обыкновенного водорода. Спектроскопия является настолько тонким методом исследования, что такое малое различие может быть обнаружено. Действительно, оно сыграло решающую роль в открытии дейтерия (рис. 34.12).