Для частиц одинаковой энергии определенное прицельное расстояние дает, под действием кулоновского отталкивания от ядра, определенный угол рассеяния. Вычисляя траектории для ряда прицельных расстояний b, мы можем простроить график зависимости между прицельным расстоянием b и получающимся углом рассеяния Θ. Для кулоновской силы эта связь показана на рис. 32.11.
Если бы мы могли видеть центр атома и совершенно точно направлять λ-частицу так, чтобы прицельное расстояние b было точно известно, то непосредственным опытом можно было бы проверить зависимость между b и Θ. Однако λ-частицы в наиболее точно направленном реальном пучке будут беспорядочно попадать в разные точки области, во много раз превосходящей площадь, занимаемую атомом. Поэтому придется предпринять несколько менее прямой опыт.



Рис. 32.11. График зависимости b от для кулоновской силы отталкивания.
Рис. 32.12. С уменьшением прицельного расстояния b угол рассеяния λ возрастает. Поэтому все частицы, летящие первоначально с прицельными расстояниями в пределах от 0 до b, рассеиваются на углы, превышающие ?. То же соотношение можно видеть на рис. 32.10 и 32.11.





Рис. 32.13. Так как частицы рассеиваются во всех направлениях, то они распределяются по поверхности сферы. Когда мы подсчитываем все те частицы, которые рассеялись на углы, превосходящие заданный угол λ, то мы считаем частицы, которые попадают внутрь "шапки" или сегмента сферы. Показаны сегменты для θ = 145^е, 75^°, 5^°. NQ есть число частиц, рассеянных в пределах соответствующего сегмента.



Рис. 32.14. Каждый ^гатом подобен мишени для стрельбы в цель. Альфа-частицы при бомбардировке атома равномерно распределены по всей площади мишени многих атомов. Поэтому число частиц, проходящих в пределах прицельных расстояний от 0 до b, пропорционально πb²-площади круга радиусом b.

Так как меньшие прицельные расстояния соответствуют большим углам рассеяния (рис. 32.12), то мы должны использовать неустранимое несовершенство прицеливания и вычислить число частиц, совершающих соударения с прицельным расстоянием, меньшим некоторой заданной величины Ъ. Все такие λ-частицы (и никакие другие) должны тогда быть рассеяны на углы, превосходящие соответствующий угол рассеяния Θ. Так как мы можем экспериментально измерить число N₀ λ-частиц, рассеянных на углы, превосходящие определенный угол Θ, мы можем тогда экспериментально установить, производится ли рассеяние кулоновской силой. Другая сила могла бы создать такое же число N_θ частиц, рассеянных на углы, превосходящие данный угол Θ, но, как мы увидим, она не дала бы того же соотношения между N_θ и θ для многих углов. Поэтому, говоря точнее, опыт должен заключаться в измерении N_θ как функции от θ (рис. 32.13) и в сравнении экспериментальных результатов с теми, которые предсказываются на основании закона Кулона.
Для вычисления числа λ-частиц, которые ударяются не дальше определенного расстояния b от центра атома, мы воспользуемся тем фактом, что пучок рассеивается равномерно по всей площади атомной мишени. Так как число λ-частиц, нацеливаемых на некоторую малую площадку атомной мишени, равно числу частиц, нацеливаемых на любую другую площадку равной площади около того же атома, то число λ-частиц, проходящих не дальше, чем на расстоянии b от данного ядра, пропорционально площади круга радиусом b (рис. 32.14). Эта площадь равна πb2. Следовательно, число λ-частиц, которые рассеиваются на углы, превосходящие угол Θ, пропорционально b².
Но мы уже знаем, как b связано с Θ. Пользуясь графиком зависимости b от Θ, мы можем построить график зависимости b² от Θ. Так как число частиц, рассеянных на углы, превосходящие Θ, пропорционально b², то график зависимости b² от θ и график зависимости N_θ от θ должны быть одинаковы (за исключением масштабного множителя по вертикальной шкале). Этот график представлен на рис. 32.15.
Теперь мы в состоянии провести опыт для экспериментальной проверки модели Резерфорда. Сосчитав число λ-частиц, рассеянных из пучка по разным направлениям, мы можем выяснить экспериментально, согласуется ли число N_θ λ-частиц, рассеянных по всем возможным углам, превосходящим Θ, с теоретическим графиком. Тщательные опыты по угловому распределению произвели Гейгер и Марсден (1913 г.). Некоторые из их результатов показаны на рис. 32.15. В пределах точности измерений экспериментальные точки ложатся на кривую, вычисленную в предположении, что сила является кулоновской.
Мы можем теперь сделать вывод, что рассеяние λ-частиц является результатом действия кулоновской силы. Но для большей уверенности в этом заключении посмотрим, какой график зависимости N_Θ от θ получится для другой силы. Легко вычислить траектории и найти соотношение между прицельным расстоянием и углом рассеяния для силы, которая равна нулю на больших расстояниях от центра атома, а затем быстро возрастает до больших значений, когда λ-частица приближается к области, расположенной на определенном расстоянии от центра. Поэтому мы и выбрали для построения график зависимости N_θ от θ для такой быстро возрастающей силы. Эта кривая, показанная на рис. 32.16, столь отлична от кривой, получающейся для кулоновской силы, что ее явно нельзя считать совместимой с экспериментальными результатами Гейгера и Марсдена.
Вообще, допустив действие на λ-частицы любой силы, мы можем вычислить для этой силы график зависимости N_Θ от Θ. Для каждой силы получается свой график, и обратно -- силу можно определить по форме графика. Форма графика для наших экспериментальных результатов получается такая же, как для графика в случае кулоновской силы. Следовательно, именно эта сила действует на ос-частицы.




Рис. 32.15. График зависимости NQ (числа частиц, рассеянных на углы, превосходящие θ) от θ. Кривая показывает, чего мы должны ожидать для кулоновской силы, маленькими квадратиками представлены данные, собранные Гейгером и Марсденом в их опытах по рассеянию. На малом графике показана в другом масштабе кривая для малых углов.



рис. 32.16. Сплошная линия представляет собой кривую зависимости N? от ? для силы, которая внезапно резко возрастает с уменьшением расстояния. Пунктирная линия проведена через точки Гейгера и Марсдена. Кривые сдвинуты так, чтобы они совпадали для ? = 120°. Никакой подгонкой нельзя их привести к совпадению.

Проверка резерфордовской модели, которую доставляют измерения углового распределения рассеянных λ-частиц, является убедительным доказательством того, что рассеяние происходит в поле кулоновской силы вокруг ядра. Но это не единственное свидетельство правильности модели Резерфорда. Мы можем также воспользоваться зависимостью рассеяния от энергии λ-частиц. Энергию потока λ-частиц можно изменять, пропуская их через ряд слоев тонкой фольги. Число λ-частиц при этом почти не изменяется, но их энергия уменьшается; энергию λ-частиц, прошедших через фольгу, можно измерить. Таким образом, мы можем проделать опыты по рассеянию с одним и тем же числом λ-частиц, но с различными энергиями. Для λ-частиц с меньшей энергией модель Резерфорда делает специальное предсказание об угловом распределении. Число больших отклонений должно возрасти. Это число обратно пропорционально квадрату энергии. При силах другого вида это число зависит от энергии иначе. Например, для круто обрывающейся силы рассеяние λ-частиц одинаково при всех энергиях. Следовательно, можно отличить один вид силы от другого на основе изменений в угловом распределении, происходящих при изменении энергии λ-частиц. Гейгер и Марсден провели также опыт для проверки модели Резерфорда и таким путем. Снова экспериментальные результаты оказались в согласии с моделью Резерфорда. Изменяя энергию в 10 раз, они нашли, что число частиц, рассеянных в любой заданной области больших углов, возрастает обратно пропорционально квадрату энергии. Сила, вызывающая рассеяние, должна быть кулоновской силой. Это поистине замечательный результат. Пользуясь в качестве зондов λ-частицами, мы исследовали электрическое поле внутри отдельных атомов и нашли, что оно подчиняется закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Прежде всего, это означает, что положительный заряд атома действительно сосредоточен в значительно меньшем объеме, чем весь атом. Во-вторых, мы нашли доказательство того, что закон Кулона, который ранее мы проверили экспериментально только вплоть до расстояний порядка сантиметров, в действительности справедлив до расстояний, которые значительно меньше атомных размеров. Как мы увидим в следующем разделе, те λ-частицы, которыми мы зондируем области, наиболее близкие к ядру, и для которых получаются наибольшие углы отклонения, глубоко проникают внутрь атомов. Они возвращаются назад, когда оказываются на расстоянии всего лишь около 10^-14 м от ядерного заряда, что составляет около одной десятитысячной атомного размера. Таким образом, известная нам область действия кулоновской силы расширяется в 10⁴ раз в сторону очень малых расстояний.